Как показал опыт предыдущих лет, курс арифметики хорошо подходит для разнородно подготовленной аудитории Летней школы. Так как я в этом году еду с сыном, при создании курса возникает дополнительное требование каким-то образом сделать часть материала доступной дошкольнику. Как? Хочу попробовать идею, услышанную на лекциях Александра Васильевича Михалёва: простые вещи надо рассказывать подробно, так, чтобы все поняли, а сложные быстро: всё равно не поймут.
Дошкольники не способны долго удерживать внимание на какой-либо теме, особенно если изложение ведётся в лекционной форме. Тем самым задача сводится к разбавлению курса яркими запоминающимися событиями, включающими в себя действие, которые и составят содержание для дошкольника. Естественным местом для подобных событий являются вечно затягивающиеся по закону вселенской энтропии начало лекции и приход школьников с перерыва.
Объём материала рассчитываем на восемь лекций и семь семинаров (см. задачи).
«Не делай того другим, чего не хочешь себе», — кто является автором этой летнешкольной мудрости? Из Калининграда. «Поступай так, чтобы правила, которыми руководится твоя воля, могли во всякое время послужить принципом всеобщего законодательства». Это категорический императив Иммануила Канта, умершего более двухсот лет назад.
Помимо нравственных законов, Кант философствовал на тему математики. В частности, из всей математики Кант выделял геометрию и арифметику тем, что познание этих двух наук даётся человеку априорно в его чувствах пространства и времени. «Арифметика создает свои понятия чисел посредством последовательного добавления единиц во времени», — пишет Иммануил Кант. Если ему верить, то знание этого курса уже существует внутри Вас, и до него надо лишь докопаться.
1, 2, 3, ... — натуральный, самый естественный ряд чисел, где каждое следующее число получается из предыдущего добавлением единицы. В переводе — «природный» ряд.
Чётные, нечётные числа.
Фигурные числа: треугольные, квадратные, пятиугольные. Складывая последовательные нечётные числа, мы получаем квадраты.
Calculus — маленький камень.
Сложение = прибавление, вычитание = отнимание, коммутативность сложения, ассоциативность сложения.
Может ли большее, делённое на меньшее, быть равно меньшему, делённому на большее? Уже Диофант знал, что минус на минус даёт плюс, но ещё в XVII веке парадокс Арно препятствовал повсеместному принятию отрицательных чисел. Что такое отрицательные числа? Например, лучи в N2. Зачем они нужны? Замыкание множества натуральный чисел по вычитанию. Замкнутость множества чётных чисел.
Магические квадраты: каждом столбце, каждой строчке и диагонали — сумма s = n(n2 + 1)/2. При n = 3 существует всего лишь один магический квадрат.
Умножение, деление, коммутативность и ассоциативность умножения.
Сколько будет 3 * 5? Почему 3 * 5 = 5 * 3? Какие числа возникнут, если замкнуть множество целых чисел относительно деления?
Запись числа в разных системах счисления, перевод из десятичной системы счисления в другую с помощью цепочки последовательных делений с остатком. Примеры аддитивных других записей: X = 10, IV = 4, XLVI = 46, I = 10, Д = 4, ДI = 14. Линия над словами (титло) служит для выделения чисел в тексте.
НОД, НОК, взаимно-простые числа, простые числа. Открытая проблема Гольдбаха: каждое чётное число представляется в виде суммы двух простых. Неизвестно, бесконечно ли много простых чисел-близнецов.
Кто такой Киренский? Эратосфен из города Кирены, сменивший своего учителя на посту заведующего александрийской библиотекой, известен своей эрудицией в множестве областей, и, в том числе, своими трудами по математике: решением задачи удвоения куба и способом поиска простых чисел.
Теорема Евклида. Простых чисел бесконечно много.
Доказательство. Предположим, что их конечное число, и рассмотрим число
p1 p2 p3×...×pn + 1. Оно делится на какое-то
pk — противоречие.
Однозначность разложения возникает не во всех алгебраических структурах. 2Z = {..., -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...}: 36 = 6 * 6 = 2 * 18 (нет единицы), Z[√-5] = { a + b √-5 }: 6 = 2 * 3 = (1 + √-5) * (1 - √-5) (необходима упорядоченность, используем норму для доказательства простоты).
Бесконечно ли много ли простых чисел вида 3k-1? Пусть их конечное число, пусть чётное число. Рассмотрим произведение чисел p1 p2 p3×...×pn + 1: у него есть простой делитель вида 3k-1.
Теорема Дирихле. В арифметической прогрессии со взаимно простыми основанием и
разностью простых чисел бесконечно много.
Доказательство. Харди и Райт в своей книге пишут,
“this theorem is too difficult for insertion in this book.“ Элементарное доказательство в книге
Хинчина очень хорошо посмотреть, чтобы понять значение слова «элементарное».
Дружественные числа, общественные числа.
Теорема Эйлера. Все чётные совершеные числа имеют вид Евклида 2p-1 (2p-1),
где 2p-1 — простое число Мерсенна.
Доказательство. Без ограничения общности, n = 2p-1 m, где m — нечётно и p ≥ 2. Тогда
σ(n) = 2p m = (2p-1) σ(m). Отсюда сумма делителей σ(m) = m + m / (2p-1).
Заметим, что m / (2p-1) — целое, а следовательно входит в сумму σ(m) делителем m,
отличным от m. Учитывая, что на этом сумма σ(m) исчерпывается, m / (2p-1) = 1.
Ферма: за простоту чисел Fn = 22^n + 1 ручаюсь. Такой сложный вид показателя Ферма выбрал не случайно: число 2k + 1 при k != 2n является составным.
Функция Эйлера φ(n) = n Пp (1-1/p).
Любой остаток по простому модулю встречается в каждой строчке таблицы умножения, составленной из чисел, взаимно простых с модулем, ровно один раз. Умножение на число переставляет остатки местами.
Зачем изучать суммы квадратов? Связаны с умножением.
Теорема. Если каждое из числе представлется в виде суммы квадратов, то и их
произведение представляется в виде суммы квадратов.
Доказательство. (a2 + b2)(x2 + y2) =
(ax - by)2 + (ay + bx)2.
Теорема. Если сумма квадратов a2 + b2 целых чисел a и b
делится на простое число p вида p = 4n + 3, где n — целое неотрицательное число,
то числа a и b делятся на p.
Доказательство. Пусть a не делится на p. Тогда и b не делится на p. Возведем обе части сравнения
a2 = -b2 (mod p) в (2n+1)-ю степень: a4n+2 = -b4n+2 (mod p).
В силу малой теоремы Ферма a4n+2 = 1 = -b4n+2 (mod p), поэтому 1 = -1 (mod p)
что невозможно при p > 2.
Теорема Ферма—Эйлера. Любое простое число p=4n+1, где n — натуральное
число, представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.
Доказательство. Разобьём множество «крылатых квадратов», соответствующих
решениям уравнения a2 + 4bc = p на пары: крылатому квадату (a, b, c) поставим в
соответствие {(a+2b, c-a-b, b), если a+b < c, (a-2c, c, a+b-c), если c < a+b и 2c < a,
(2c-a, a+b-c, c), если c < a+b и a < 2c}. Останется один непарный квадрат. Значит общее число
решений нечётно, следовательно у преобразования (a, b, c)->(a, c, b) есть неподвижная точка.